6. Язык логики предикатов
Логика высказываний не анализирует внутреннюю структуру простых высказываний. Они берутся как неразложимые далее атомы, из которых с помощью связок образуются сложные высказывания.
Логика предикатов — основной раздел современной логики, в котором описываются выводы, учитывающие внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру высказываний.
Логика предикатов является расширением логики высказываний: все законы логики высказываний являются также законами логики предикатов, но не наоборот. В этом смысле логика высказываний более фундаментальна, чем логика предикатов.
Предикат — это языковое выражение, обозначающее какое-то свойство или отношение. Предикат, указывающий на свойство отдельного предмета, например, «быть зелёным», называется одноместным. Предикат, обозначающий отношение, называется двухместным, трехместным и т.д. в зависимости от числа членов данного отношения. Например, «любит» — двухместный предикат, «находится между» — трехместный.
В современной логике предикация рассматривается как частный случай функциональной зависимости. Предикатами называются функции, значениями которых служат высказывания. Например, выражение «…есть зелёный» (или «х есть зелёный») является функцией от одной переменной, «… любит… « («х любит у») — функция от двух переменных и т.д. Эти выражения превращаются в высказывания при соответствующей подстановке имён вместо переменных.
В логике предикатов — в дополнение к средствам логики высказываний — вводятся логические операторы
(«для всех») и
Запись (
x) Р(х) означает «Всякий х обладает свойством Р», (
х) Р(х)
— «Некоторые х обладают свойством Р», (
x ) Q(x, у)
— «Существует х , находящийся в отношении Q с у » и т.п.
Формула логики предикатов называется общезначимой , если она истинна в каждой интерпретации, в каждом приписывании содержательного смысла входящим в неё символам. Тавтология логики высказываний является частным случаем общезначимой формулы. В логике предикатов, в отличие от логики высказываний, нет эффективной процедуры, позволяющей для произвольно взятой формулы решить, является ли она общезначимой или нет.
